다음을 풀어보세요: 3x^2+10x-5=0

$$3 x ^ { 2 } + 10 x - 5 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3}\approx 0.44151844$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}\approx -3.774851773$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}+10x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 10을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+60}}{2\times 3}$$

100을(를) 60에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

160의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{6}을(를) 풉니다. -10을(를) 4\sqrt{10}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-10}{6}$$

-10+4\sqrt{10}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±4\sqrt{10}}{6}을(를) 풉니다. -10에서 4\sqrt{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-10}{6}$$

-10-4\sqrt{10}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}+10x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$3x^{2}+10x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

자신에서 -5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+10x=-\left(-5\right)$$

0에서 -5을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+10x=5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{5}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{5}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{10}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{5}{3}+\frac{25}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{25}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{40}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-5}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-5}{3}$$