다음을 풀어보세요: 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

x, y에 대한 해

$$x=-5$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.

$$3x+9-6y=0$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x-6y=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 12을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$-2x-2y=12$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-6y=-9$$

수식의 양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$3x=6y-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

\frac{1}{3}에 6y-9을(를) 곱합니다.

$$x=2y-3$$

다른 수식 -2x-2y=12에서 2y-3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

-2에 2y-3을(를) 곱합니다.

$$-4y+6-2y=12$$

-4y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-6y+6=12$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$-6y=6$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

x=2y-3에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=-2-3$$

-3을(를) -2에 추가합니다.

$$x=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-5,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.

$$3x+9-6y=0$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x-6y=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 12을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$-2x-2y=12$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-5,y=-1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.

$$3x+9-6y=0$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$3x-6y=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 12을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$-2x-2y=12$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

단순화합니다.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6x+12y=18에서 -6x-6y=36을(를) 뺍니다.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

-6x을(를) 6x에 추가합니다. -6x 및 6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y+6y=18-36$$

12y을(를) 6y에 추가합니다.

$$18y=18-36$$

18을(를) -36에 추가합니다.

$$18y=-18$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

-2x-2y=12에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

-2에 -1을(를) 곱합니다.

$$-2x+2=12$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-2x=10$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-5,y=-1$$