다음을 풀어보세요: 3x+2y=12,12=9x-8y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 8 y$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$9x-8y=12$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=12$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

다른 수식 9x-8y=12에서 -\frac{2y}{3}+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-8y=12$$

9에 -\frac{2y}{3}+4을(를) 곱합니다.

$$-6y+36-8y=12$$

-6y을(를) -8y에 추가합니다.

$$-14y+36=12$$

수식의 양쪽에서 36을(를) 뺍니다.

$$-14y=-24$$

양쪽을 -14(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{12}{7}$$

x=-\frac{2}{3}y+4에서 y을(를) \frac{12}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{7}+4$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 \frac{12}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{8}{7}+4$$

4을(를) -\frac{8}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$9x-8y=12$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-8\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\times 12+\frac{1}{21}\times 12\\\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{14}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$9x-8y=12$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

3x 및 9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-8\right)y=3\times 12$$

단순화합니다.

$$27x+18y=108,27x-24y=36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 27x+18y=108에서 27x-24y=36을(를) 뺍니다.

$$27x-27x+18y+24y=108-36$$

27x을(를) -27x에 추가합니다. 27x 및 -27x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18y+24y=108-36$$

18y을(를) 24y에 추가합니다.

$$42y=108-36$$

108을(를) -36에 추가합니다.

$$42y=72$$

양쪽을 42(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{12}{7}$$

9x-8y=12에서 y을(를) \frac{12}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9x-8\times \frac{12}{7}=12$$

-8에 \frac{12}{7}을(를) 곱합니다.

$$9x-\frac{96}{7}=12$$

수식의 양쪽에 \frac{96}{7}을(를) 더합니다.

$$9x=\frac{180}{7}$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{20}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$