다음을 풀어보세요: 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+10y=102$$

수식의 양쪽에서 10y을(를) 뺍니다.

$$3x=-10y+102$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

\frac{1}{3}에 -10y+102을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

다른 수식 3x+y=84에서 -\frac{10y}{3}+34을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

3에 -\frac{10y}{3}+34을(를) 곱합니다.

$$-10y+102+y=84$$

-10y을(를) y에 추가합니다.

$$-9y+102=84$$

수식의 양쪽에서 102을(를) 뺍니다.

$$-9y=-18$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

x=-\frac{10}{3}y+34에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

-\frac{10}{3}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

34을(를) -\frac{20}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{82}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+10y=102에서 3x+y=84을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10y-y=102-84$$

10y을(를) -y에 추가합니다.

$$9y=102-84$$

102을(를) -84에 추가합니다.

$$9y=18$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

3x+y=84에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2=84$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$3x=82$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{82}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$