다음을 풀어보세요: 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

p에 대한 해

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3p^{2}+ap+bp+5(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 15을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-15 -3,-5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

이 해답은 합계 -8이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=-3$$

3p^{2}-8p+5을(를) \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 p를 제한 합니다.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3p-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3p-5=0을 해결 하 고, p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -8을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-8을(를) 제곱합니다.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

-12에 5을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

64을(를) -60에 추가합니다.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

4의 제곱근을 구합니다.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

-8의 반대는 8입니다.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 p=\frac{8±2}{6}을(를) 풉니다. 8을(를) 2에 추가합니다.

$$p=\frac{10}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$p=\frac{5}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 p=\frac{8±2}{6}을(를) 풉니다. 8에서 2을(를) 뺍니다.

$$p=\frac{6}{6}$$

6을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$p=1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3p^{2}-8p=-5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{8}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{4}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{4}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{4}{3}을(를) 제곱합니다.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{3}을(를) \frac{16}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

인수 p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

단순화합니다.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{3}을(를) 더합니다.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$