다음을 풀어보세요: 3n^2-7n-370=0

$$3 n ^ { 2 } - 7 n - 370 = 0$$

n에 대한 해

$$n=-10$$

$$n = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3} \approx 12.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3n^{2}+an+bn-370(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-7 ab=3\left(-370\right)=-1110$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -1110을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-1110 2,-555 3,-370 5,-222 6,-185 10,-111 15,-74 30,-37$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-1110=-1109 2-555=-553 3-370=-367 5-222=-217 6-185=-179 10-111=-101 15-74=-59 30-37=-7$$

이 해답은 합계 -7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-37 b=30$$

3n^{2}-7n-370을(를) \left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right)$$

첫 번째 그룹 및 10에서 n를 제한 합니다.

$$n\left(3n-37\right)+10\left(3n-37\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3n-37을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3n-37\right)\left(n+10\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3n-37=0을 해결 하 고, n+10=0.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -7을(를) b로, -370을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

-7을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -370을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4440}}{2\times 3}$$

49을(를) 4440에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

4489의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±67}{2\times 3}$$

-7의 반대는 7입니다.

$$n=\frac{7±67}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{7±67}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{7±67}{6}을(를) 풉니다. 7을(를) 67에 추가합니다.

$$n=\frac{74}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{74}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n=\frac{37}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{7±67}{6}을(를) 풉니다. 7에서 67을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{60}{6}$$

-60을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$n=-10$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

수식의 양쪽에 370을(를) 더합니다.

$$3n^{2}-7n-370-\left(-370\right)=-\left(-370\right)$$

자신에서 -370을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3n^{2}-7n=-\left(-370\right)$$

0에서 -370을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}-7n=370$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=\frac{370}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=\frac{370}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{7}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{370}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{6}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{370}{3}+\frac{49}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{370}{3}을(를) \frac{49}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{4489}{36}$$

인수 n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{67}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{67}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{6}을(를) 더합니다.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$