다음을 풀어보세요: 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

n에 대한 해

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

-232에서 5을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 47을(를) b로, -237을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

47을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -237을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

2209을(를) 2844에 추가합니다.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}을(를) 풉니다. -47을(를) \sqrt{5053}에 추가합니다.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}을(를) 풉니다. -47에서 \sqrt{5053}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

수식의 양쪽에 232을(를) 더합니다.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

자신에서 -232을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

5에서 -232을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+47n=237$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

237을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

x 항의 계수인 \frac{47}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{47}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{47}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{47}{6}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

79을(를) \frac{2209}{36}에 추가합니다.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

인수 n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{47}{6}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$