다음을 풀어보세요: 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

n에 대한 해

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3n^{2}+an+bn-8(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -24을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-2 b=12$$

3n^{2}+10n-8을(를) \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 n를 제한 합니다.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3n-2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3n-2=0을 해결 하 고, n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3n^{2}+10n=8$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

자신에서 8을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 10을(를) b로, -8을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -8을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

100을(를) 96에 추가합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-10±14}{6}을(를) 풉니다. -10을(를) 14에 추가합니다.

$$n=\frac{4}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{4}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n=\frac{2}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-10±14}{6}을(를) 풉니다. -10에서 14을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{24}{6}$$

-24을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$n=-4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3n^{2}+10n=8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{10}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{3}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) \frac{25}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

인수 n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$