다음을 풀어보세요: 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

b에 대한 해

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3.936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1.270083225$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -8을(를) b로, -15을(를) c로 치환합니다.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-8을(를) 제곱합니다.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -15을(를) 곱합니다.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

64을(를) 180에 추가합니다.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

244의 제곱근을 구합니다.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-8의 반대는 8입니다.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}을(를) 풉니다. 8을(를) 2\sqrt{61}에 추가합니다.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

8+2\sqrt{61}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}을(를) 풉니다. 8에서 2\sqrt{61}을(를) 뺍니다.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

8-2\sqrt{61}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

자신에서 -15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

0에서 -15을(를) 뺍니다.

$$3b^{2}-8b=15$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

15을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

x 항의 계수인 -\frac{8}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{4}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{4}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{4}{3}을(를) 제곱합니다.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

5을(를) \frac{16}{9}에 추가합니다.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

단순화합니다.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{3}을(를) 더합니다.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$