다음을 풀어보세요: 3(2x+1)^2=108

$$3 ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 108$$

x에 대한 해

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\left(2x+1\right)^{2}=\frac{108}{3}$$

108을(를) 3(으)로 나눠서 36을(를) 구합니다.

$$\left(2x+1\right)^{2}=36$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+4x+1=36$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x+1-36=0$$

1에서 36을(를) 빼고 -35을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+4x-35=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx-35(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=4 ab=4\left(-35\right)=-140$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -140을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,140 -2,70 -4,35 -5,28 -7,20 -10,14$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+140=139 -2+70=68 -4+35=31 -5+28=23 -7+20=13 -10+14=4$$

이 해답은 합계 4이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-10 b=14$$

4x^{2}+4x-35을(를) \left(4x^{2}-10x\right)+\left(14x-35\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(14x-35\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(2x-5\right)+7\left(2x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-5=0을 해결 하 고, 2x+7=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\left(2x+1\right)^{2}=\frac{108}{3}$$

108을(를) 3(으)로 나눠서 36을(를) 구합니다.

$$\left(2x+1\right)^{2}=36$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+4x+1=36$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x+1-36=0$$

1에서 36을(를) 빼고 -35을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+4x-35=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 4을(를) b로, -35을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

-16에 -35을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+560}}{2\times 4}$$

16을(를) 560에 추가합니다.

$$x=\frac{-4±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-4±24}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4±24}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-4±24}{8}을(를) 풉니다. -4을(를) 24에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{20}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-4±24}{8}을(를) 풉니다. -4에서 24을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{28}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-28}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{7}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$

제곱 완성 단계

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\left(2x+1\right)^{2}=\frac{108}{3}$$

108을(를) 3(으)로 나눠서 36을(를) 구합니다.

$$\left(2x+1\right)^{2}=36$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4x^{2}+4x+1=36$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+4x=36-1$$

36에서 1을(를) 빼고 35을(를) 구합니다.

$$4x^{2}+4x=35$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{35}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{35}{4}$$

4을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=\frac{35}{4}$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{35}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{35+1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{35}{4}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=9$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=9$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=3 x+\frac{1}{2}=-3$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$