다음을 풀어보세요: 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

k에 대한 해

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0.223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0.223606798$$

근의 공식을 사용한 단계

수식의 양쪽 모두에 4k^{2}+1을(를) 곱합니다.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

\frac{-16k}{4k^{2}+1}을(를) 제곱하려면 분자와 분모를 모두 제곱한 다음 나누세요.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)을(를) 단일 분수로 표현합니다.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

\left(-16k\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

-16의 2제곱을 계산하여 256을(를) 구합니다.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

3과(와) 256을(를) 곱하여 768(을)를 구합니다.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4k^{2}+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

양쪽 모두에서 32을(를) 뺍니다.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

분배 법칙을 사용하여 768k^{2}에 4k^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

16k^{4}+8k^{2}+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

식을 더하거나 빼려면 해당 식의 분모를 동일하게 맞추세요. 32에 \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 및 \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}의 분모가 같으므로 분자를 빼서 이 둘을 뺍니다.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}에서 곱하기를 합니다.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32의 동류항을 결합합니다.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

수식의 양쪽 모두에 \left(4k^{2}+1\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

k^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 2560(으)로, b을(를) 512(으)로, c을(를) -32(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{-512±768}{5120} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

k=t^{2} 후에는 양수 t에 대한 k=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$