다음을 풀어보세요: 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

인수 분해

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

해답 단계

식을 인수분해하려면 식이 0와(과) 같은 수식을 푸세요.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

유리근 정리에 의하여 다항식의 모든 유리수 루트는 p -40 상수 항을 나누고 q 선행 계수 3을 분할하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=-2$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40을(를) x+2(으)로 나눠서 3x^{3}-5x^{2}+12x-20을(를) 구합니다. 결과를 인수분해하려면 결과가 0와(과) 같은 방정식을 푸세요.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

유리근 정리에 의하여 다항식의 모든 유리수 루트는 p -20 상수 항을 나누고 q 선행 계수 3을 분할하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$x=\frac{5}{3}$$

인수정리를 통해 x-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 3x^{3}-5x^{2}+12x-20을(를) 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5(으)로 나눠서 x^{2}+4을(를) 구합니다. 결과를 인수분해하려면 결과가 0와(과) 같은 방정식을 푸세요.

$$x^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) 0(으)로, c을(를) 4(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

다항식 x^{2}+4은(는) 유리수 루트가 없기 때문에 인수 분해되지 않습니다.

$$x^{2}+4$$

가져온 루트를 사용하여 인수 분해식을 다시 작성하세요.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

계산

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$