다음을 풀어보세요: 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-372(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -1116을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

이 해답은 합계 -5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-36 b=31$$

3x^{2}-5x-372을(를) \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

첫 번째 그룹 및 31에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-12을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-12=0을 해결 하 고, 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -5을(를) b로, -372을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -372을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

25을(를) 4464에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

4489의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{5±67}{6}을(를) 풉니다. 5을(를) 67에 추가합니다.

$$x=\frac{72}{6}$$

72을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{5±67}{6}을(를) 풉니다. 5에서 67을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{62}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-62}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{31}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

수식의 양쪽에 372을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

자신에서 -372을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

0에서 -372을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-5x=372$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

372을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

124을(를) \frac{25}{36}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{6}을(를) 더합니다.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$