다음을 풀어보세요: 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-250(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -750을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

이 해답은 합계 -5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-30 b=25$$

3x^{2}-5x-250을(를) \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

첫 번째 그룹 및 25에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-10을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-10=0을 해결 하 고, 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -5을(를) b로, -250을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -250을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

25을(를) 3000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

3025의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{5±55}{6}을(를) 풉니다. 5을(를) 55에 추가합니다.

$$x=\frac{60}{6}$$

60을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{5±55}{6}을(를) 풉니다. 5에서 55을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{50}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-50}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{25}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

수식의 양쪽에 250을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

자신에서 -250을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

0에서 -250을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-5x=250$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{250}{3}을(를) \frac{25}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{6}을(를) 더합니다.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$