다음을 풀어보세요: 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -4을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

16을(를) 108에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

124의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}을(를) 풉니다. 4을(를) 2\sqrt{31}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

4+2\sqrt{31}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}을(를) 풉니다. 4에서 2\sqrt{31}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

4-2\sqrt{31}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-4x=9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

9을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

x 항의 계수인 -\frac{4}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{2}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{2}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{2}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

3을(를) \frac{4}{9}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$