다음을 풀어보세요: 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2.097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1.430500874$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, -2을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

4을(를) 108에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

112의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}을(를) 풉니다. 2을(를) 4\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

2+4\sqrt{7}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}을(를) 풉니다. 2에서 4\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

2-4\sqrt{7}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-2x=9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

9을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

x 항의 계수인 -\frac{2}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

3을(를) \frac{1}{9}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$