다음을 풀어보세요: 3x^2+53x-720=0

$$3 { x }^{ 2 } +53x-720=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{80}{3} = -26\frac{2}{3} \approx -26.666666667$$

$$x=9$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-720(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=53 ab=3\left(-720\right)=-2160$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -2160을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,2160 -2,1080 -3,720 -4,540 -5,432 -6,360 -8,270 -9,240 -10,216 -12,180 -15,144 -16,135 -18,120 -20,108 -24,90 -27,80 -30,72 -36,60 -40,54 -45,48$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+2160=2159 -2+1080=1078 -3+720=717 -4+540=536 -5+432=427 -6+360=354 -8+270=262 -9+240=231 -10+216=206 -12+180=168 -15+144=129 -16+135=119 -18+120=102 -20+108=88 -24+90=66 -27+80=53 -30+72=42 -36+60=24 -40+54=14 -45+48=3$$

이 해답은 합계 53이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-27 b=80$$

3x^{2}+53x-720을(를) \left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right)$$

첫 번째 그룹 및 80에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-9\right)+80\left(x-9\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-9을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-9\right)\left(3x+80\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-9=0을 해결 하 고, 3x+80=0.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 53을(를) b로, -720을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

53을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-12\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -720을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809+8640}}{2\times 3}$$

2809을(를) 8640에 추가합니다.

$$x=\frac{-53±\sqrt{11449}}{2\times 3}$$

11449의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-53±107}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-53±107}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-53±107}{6}을(를) 풉니다. -53을(를) 107에 추가합니다.

$$x=\frac{54}{6}$$

54을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-53±107}{6}을(를) 풉니다. -53에서 107을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{160}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-160}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{80}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

수식의 양쪽에 720을(를) 더합니다.

$$3x^{2}+53x-720-\left(-720\right)=-\left(-720\right)$$

자신에서 -720을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+53x=-\left(-720\right)$$

0에서 -720을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+53x=720$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+53x}{3}=\frac{720}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=\frac{720}{3}$$

720을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=240$$

x 항의 계수인 \frac{53}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{53}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{53}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}=240+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{53}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=240+\frac{2809}{36}$$

240을(를) \frac{2809}{36}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=\frac{11449}{36}$$

인수 x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}=\frac{11449}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11449}{36}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{53}{6}=\frac{107}{6} x+\frac{53}{6}=-\frac{107}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{53}{6}을(를) 뺍니다.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$