다음을 풀어보세요: 3left(n+5right)^2+7=-17

$$3 { \left(n+5 \right) }^{ 2 } +7 = -17$$

n에 대한 해

$$n=-2\sqrt{2}i-5\approx -5-2.828427125i$$

$$n=-5+2\sqrt{2}i\approx -5+2.828427125i$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(n+5\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$3\left(n^{2}+10n+25\right)+7=-17$$

분배 법칙을 사용하여 3에 n^{2}+10n+25(을)를 곱합니다.

$$3n^{2}+30n+75+7=-17$$

75과(와) 7을(를) 더하여 82을(를) 구합니다.

$$3n^{2}+30n+82=-17$$

양쪽에 17을(를) 더합니다.

$$3n^{2}+30n+82+17=0$$

82과(와) 17을(를) 더하여 99을(를) 구합니다.

$$3n^{2}+30n+99=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 30을(를) b로, 99을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 3\times 99}}{2\times 3}$$

30을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 3\times 99}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-12\times 99}}{2\times 3}$$

-12에 99을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-1188}}{2\times 3}$$

900을(를) -1188에 추가합니다.

$$n=\frac{-30±\sqrt{-288}}{2\times 3}$$

-288의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{6}을(를) 풉니다. -30을(를) 12i\sqrt{2}에 추가합니다.

$$n=\frac{-30+12\sqrt{2}i}{6}$$

-30+12i\sqrt{2}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$n=-5+2\sqrt{2}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{6}을(를) 풉니다. -30에서 12i\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{-12\sqrt{2}i-30}{6}$$

-30-12i\sqrt{2}을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$n=-2\sqrt{2}i-5$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=-5+2\sqrt{2}i n=-2\sqrt{2}i-5$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(n+5\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$3\left(n^{2}+10n+25\right)+7=-17$$

분배 법칙을 사용하여 3에 n^{2}+10n+25(을)를 곱합니다.

$$3n^{2}+30n+75+7=-17$$

75과(와) 7을(를) 더하여 82을(를) 구합니다.

$$3n^{2}+30n+82=-17$$

양쪽 모두에서 82을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+30n=-17-82$$

-17에서 82을(를) 빼고 -99을(를) 구합니다.

$$3n^{2}+30n=-99$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3n^{2}+30n}{3}=-\frac{99}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{30}{3}n=-\frac{99}{3}$$

30을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$n^{2}+10n=-\frac{99}{3}$$

-99을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$n^{2}+10n=-33$$

x 항의 계수인 10을(를) 2(으)로 나눠서 5을(를) 구합니다. 그런 다음 5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+10n+5^{2}=-33+5^{2}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+10n+25=-33+25$$

-33을(를) 25에 추가합니다.

$$n^{2}+10n+25=-8$$

인수 n^{2}+10n+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+5\right)^{2}=-8$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+5\right)^{2}}=\sqrt{-8}$$

단순화합니다.

$$n+5=2\sqrt{2}i n+5=-2\sqrt{2}i$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$n=-5+2\sqrt{2}i n=-2\sqrt{2}i-5$$