다음을 풀어보세요: 2x(38-2x)=180

$$2x(38-2x)=180$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{181} + 19}{2} \approx 16.226812024$$

$$x = \frac{19 - \sqrt{181}}{2} \approx 2.773187976$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 2x에 38-2x(을)를 곱합니다.

$$76x-4x^{2}=180$$

양쪽 모두에서 180을(를) 뺍니다.

$$76x-4x^{2}-180=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-4x^{2}+76x-180=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, 76을(를) b로, -180을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-76±\sqrt{76^{2}-4\left(-4\right)\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

76을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776-4\left(-4\right)\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776+16\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16에 -180을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776-2880}}{2\left(-4\right)}$$

5776을(를) -2880에 추가합니다.

$$x=\frac{-76±\sqrt{2896}}{2\left(-4\right)}$$

2896의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}을(를) 풉니다. -76을(를) 4\sqrt{181}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{181}-76}{-8}$$

-76+4\sqrt{181}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{19-\sqrt{181}}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}을(를) 풉니다. -76에서 4\sqrt{181}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{181}-76}{-8}$$

-76-4\sqrt{181}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{181}+19}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19-\sqrt{181}}{2} x=\frac{\sqrt{181}+19}{2}$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 2x에 38-2x(을)를 곱합니다.

$$76x-4x^{2}=180$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-4x^{2}+76x=180$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4x^{2}+76x}{-4}=\frac{180}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{76}{-4}x=\frac{180}{-4}$$

76을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-19x=\frac{180}{-4}$$

180을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-19x=-45$$

x 항의 계수인 -19을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{19}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{19}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-19x+\left(-\frac{19}{2}\right)^{2}=-45+\left(-\frac{19}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{19}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-19x+\frac{361}{4}=-45+\frac{361}{4}$$

-45을(를) \frac{361}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-19x+\frac{361}{4}=\frac{181}{4}$$

인수 x^{2}-19x+\frac{361}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{19}{2}\right)^{2}=\frac{181}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{181}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{19}{2}=\frac{\sqrt{181}}{2} x-\frac{19}{2}=-\frac{\sqrt{181}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{181}+19}{2} x=\frac{19-\sqrt{181}}{2}$$