다음을 풀어보세요: 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0.25+0.968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0.25-0.968245837i$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

2x과(와) -4x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

1에서 5을(를) 빼고 -4을(를) 구합니다.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, -2을(를) b로, -4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

4을(를) -64에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

-60의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}을(를) 풉니다. 2을(를) 2i\sqrt{15}에 추가합니다.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

2+2i\sqrt{15}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}을(를) 풉니다. 2에서 2i\sqrt{15}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

2-2i\sqrt{15}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

제곱 완성 단계

양쪽 모두에서 4x^{2}을(를) 뺍니다.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

2x과(와) -4x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

5에서 1을(를) 빼고 4을(를) 구합니다.

$$-2x-4x^{2}=4$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-4x^{2}-2x=4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{-4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

4을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

x 항의 계수인 \frac{1}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

-1을(를) \frac{1}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

인수 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{4}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$