다음을 풀어보세요: 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0.137931034+0.471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0.137931034-0.471544632i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 29을(를) a로, 8을(를) b로, 7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

-4에 29을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

-116에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

64을(를) -812에 추가합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

-748의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

2에 29을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}을(를) 풉니다. -8을(를) 2i\sqrt{187}에 추가합니다.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

-8+2i\sqrt{187}을(를) 58(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}을(를) 풉니다. -8에서 2i\sqrt{187}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

-8-2i\sqrt{187}을(를) 58(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

자신에서 7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$29x^{2}+8x=-7$$

양쪽을 29(으)로 나눕니다.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

29(으)로 나누면 29(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

x 항의 계수인 \frac{8}{29}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{4}{29}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{4}{29}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{4}{29}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{29}을(를) \frac{16}{841}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

인수 x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{29}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$