다음을 풀어보세요: 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 256x^{2}+ax+bx+1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 256을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

이 해답은 합계 -32이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-16 b=-16$$

256x^{2}-32x+1을(를) \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

두 번째 그룹에서 -1 및 첫 번째 그룹에서 16x을(를) 인수 분해합니다.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 16x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

수식 해답을 찾으려면 16x-1=0을(를) 계산하세요.

$$x=\frac{1}{16}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 256을(를) a로, -32을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

-32을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

-4에 256을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

1024을(를) -1024에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

-32의 반대는 32입니다.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

2에 256을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{32}{512}$$

32을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{32}{512}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{16}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$256x^{2}-32x=-1$$

양쪽을 256(으)로 나눕니다.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

256(으)로 나누면 256(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

32을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-32}{256}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{256}을(를) \frac{1}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{16}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

수식이 이제 해결되었습니다. 해답은 동일합니다.

$$x=\frac{1}{16}$$