다음을 풀어보세요: 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1.8+0.2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1.8-0.2i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, -90을(를) b로, 82을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

-90을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

-100에 82을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

8100을(를) -8200에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

-100의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

-90의 반대는 90입니다.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{90±10i}{50}을(를) 풉니다. 90을(를) 10i에 추가합니다.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

90+10i을(를) 50(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{90±10i}{50}을(를) 풉니다. 90에서 10i을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

90-10i을(를) 50(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

수식의 양쪽에서 82을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

자신에서 82을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$25x^{2}-90x=-82$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-90}{25}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

x 항의 계수인 -\frac{18}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{9}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{9}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{9}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{82}{25}을(를) \frac{81}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

인수 x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{5}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$