다음을 풀어보세요: 25x^2-19x-3=0

$$25 x ^ { 2 } - 19 x - 3 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}\approx 0.894198405$$

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}\approx -0.134198405$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, -19을(를) b로, -3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

-19을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

-100에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+300}}{2\times 25}$$

361을(를) 300에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

-19의 반대는 19입니다.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}을(를) 풉니다. 19을(를) \sqrt{661}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}을(를) 풉니다. 19에서 \sqrt{661}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$25x^{2}-19x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

자신에서 -3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$25x^{2}-19x=-\left(-3\right)$$

0에서 -3을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}-19x=3$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25x^{2}-19x}{25}=\frac{3}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x=\frac{3}{25}$$

x 항의 계수인 -\frac{19}{25}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{19}{50}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{19}{50}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{3}{25}+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{19}{50}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{3}{25}+\frac{361}{2500}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{25}을(를) \frac{361}{2500}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{661}{2500}$$

인수 x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{661}{2500}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{661}{2500}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{19}{50}=\frac{\sqrt{661}}{50} x-\frac{19}{50}=-\frac{\sqrt{661}}{50}$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{50}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$