다음을 풀어보세요: 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 25에 16+8x+x^{2}(을)를 곱합니다.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 7에 5-x(을)를 곱합니다.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 35-7x에 5+x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

400과(와) 175을(를) 더하여 575을(를) 구합니다.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

25x^{2}과(와) -7x^{2}을(를) 결합하여 18x^{2}(을)를 구합니다.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

양쪽 모두에서 295을(를) 뺍니다.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

575에서 295을(를) 빼고 280을(를) 구합니다.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

양쪽에 45x^{2}을(를) 더합니다.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

18x^{2}과(와) 45x^{2}을(를) 결합하여 63x^{2}(을)를 구합니다.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 63을(를) a로, 200을(를) b로, 280을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

200을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

-4에 63을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

-252에 280을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

40000을(를) -70560에 추가합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

-30560의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

2에 63을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}을(를) 풉니다. -200을(를) 4i\sqrt{1910}에 추가합니다.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

-200+4i\sqrt{1910}을(를) 126(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}을(를) 풉니다. -200에서 4i\sqrt{1910}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

-200-4i\sqrt{1910}을(를) 126(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(4+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 25에 16+8x+x^{2}(을)를 곱합니다.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 7에 5-x(을)를 곱합니다.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 35-7x에 5+x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

400과(와) 175을(를) 더하여 575을(를) 구합니다.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

25x^{2}과(와) -7x^{2}을(를) 결합하여 18x^{2}(을)를 구합니다.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

양쪽에 45x^{2}을(를) 더합니다.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

18x^{2}과(와) 45x^{2}을(를) 결합하여 63x^{2}(을)를 구합니다.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

양쪽 모두에서 575을(를) 뺍니다.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

295에서 575을(를) 빼고 -280을(를) 구합니다.

$$200x+63x^{2}=-280$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$63x^{2}+200x=-280$$

양쪽을 63(으)로 나눕니다.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

63(으)로 나누면 63(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

7을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-280}{63}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

x 항의 계수인 \frac{200}{63}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{100}{63}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{100}{63}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{100}{63}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{40}{9}을(를) \frac{10000}{3969}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

인수 x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

수식의 양쪽에서 \frac{100}{63}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$