다음을 풀어보세요: 24a^2-60a+352=0

$$24 a ^ { 2 } - 60 a + 352 = 0$$

a에 대한 해

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1.25+3.619967771i$$

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1.25-3.619967771i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 24을(를) a로, -60을(를) b로, 352을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

-60을(를) 제곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

-4에 24을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-96\times 352}}{2\times 24}$$

-96에 352을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-33792}}{2\times 24}$$

3600을(를) -33792에 추가합니다.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{-30192}}{2\times 24}$$

-30192의 제곱근을 구합니다.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

-60의 반대는 60입니다.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

2에 24을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}을(를) 풉니다. 60을(를) 4i\sqrt{1887}에 추가합니다.

$$a=\frac{60+4\sqrt{1887}i}{48}$$

60+4i\sqrt{1887}을(를) 48(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}을(를) 풉니다. 60에서 4i\sqrt{1887}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{-4\sqrt{1887}i+60}{48}$$

60-4i\sqrt{1887}을(를) 48(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

수식의 양쪽에서 352을(를) 뺍니다.

$$24a^{2}-60a+352-352=-352$$

자신에서 352을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$24a^{2}-60a=-352$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$\frac{24a^{2}-60a}{24}=-\frac{352}{24}$$

24(으)로 나누면 24(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$a^{2}+\left(-\frac{60}{24}\right)a=-\frac{352}{24}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-60}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{352}{24}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-352}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{44}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{44}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{4}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{44}{3}+\frac{25}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{44}{3}을(를) \frac{25}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{629}{48}$$

인수 a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{629}{48}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{629}{48}}$$

단순화합니다.

$$a-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{1887}i}{12} a-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{4}을(를) 더합니다.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$