다음을 풀어보세요: 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 20을(를) a로, -28을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-28을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4에 20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

784을(를) 80에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

864의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

-28의 반대는 28입니다.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

2에 20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}을(를) 풉니다. 28을(를) 12\sqrt{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

28+12\sqrt{6}을(를) 40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}을(를) 풉니다. 28에서 12\sqrt{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

28-12\sqrt{6}을(를) 40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$20x^{2}-28x=1$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

20(으)로 나누면 20(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-28}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

x 항의 계수인 -\frac{7}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{20}을(를) \frac{49}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

인수 x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{10}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$