다음을 풀어보세요: 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

p에 대한 해

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0.4$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 6을(를) 뺍니다.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

16에서 6을(를) 빼고 10을(를) 구합니다.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 20p^{2}+ap+bp+10(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 200을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

이 해답은 합계 33이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=8 b=25$$

20p^{2}+33p+10을(를) \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 4p를 제한 합니다.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 5p+2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 5p+2=0을 해결 하 고, 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

자신에서 6을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

16에서 6을(를) 뺍니다.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 20을(를) a로, 33을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

33을(를) 제곱합니다.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

-4에 20을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

-80에 10을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

1089을(를) -800에 추가합니다.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

289의 제곱근을 구합니다.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

2에 20을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 p=\frac{-33±17}{40}을(를) 풉니다. -33을(를) 17에 추가합니다.

$$p=-\frac{16}{40}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-16}{40}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$p=-\frac{2}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 p=\frac{-33±17}{40}을(를) 풉니다. -33에서 17을(를) 뺍니다.

$$p=-\frac{50}{40}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-50}{40}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$p=-\frac{5}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

자신에서 16을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

6에서 16을(를) 뺍니다.

$$20p^{2}+33p=-10$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

20(으)로 나누면 20(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

x 항의 계수인 \frac{33}{20}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{33}{40}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{33}{40}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{33}{40}을(를) 제곱합니다.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{1089}{1600}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

인수 p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

단순화합니다.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

수식의 양쪽에서 \frac{33}{40}을(를) 뺍니다.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$