다음을 풀어보세요: 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 20x^{2}+ax+bx-1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -20을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

이 해답은 합계 -1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1을(를) \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

인수분해 20x^{2}-5x에서 5x를 뽑아냅니다.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4x-1=0을 해결 하 고, 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$20x^{2}-x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 20을(를) a로, -1을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4에 20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

1을(를) 80에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

81의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

2에 20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1±9}{40}을(를) 풉니다. 1을(를) 9에 추가합니다.

$$x=\frac{10}{40}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{40}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1±9}{40}을(를) 풉니다. 1에서 9을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{8}{40}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-8}{40}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$20x^{2}-x-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$20x^{2}-x=1$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20(으)로 나누면 20(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{20}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{40}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{40}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{40}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{20}을(를) \frac{1}{1600}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{40}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$