다음을 풀어보세요: 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

z에 대한 해

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0.5+1.5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0.5-1.5i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -2을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

-8에 5을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

4을(를) -40에 추가합니다.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

-36의 제곱근을 구합니다.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{2±6i}{4}을(를) 풉니다. 2을(를) 6i에 추가합니다.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

2+6i을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{2±6i}{4}을(를) 풉니다. 2에서 6i을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

2-6i을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2z^{2}-2z=-5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

-2을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{2}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

인수 z^{2}-z+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

단순화합니다.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$