다음을 풀어보세요: 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=-2$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y-2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

\frac{1}{2}에 3y-2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

다른 수식 4x+y=2A에서 \frac{3y}{2}-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

4에 \frac{3y}{2}-1을(를) 곱합니다.

$$6y-4+y=2A$$

6y을(를) y에 추가합니다.

$$7y-4=2A$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$7y=2A+4$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

x=\frac{3}{2}y-1에서 y을(를) \frac{4+2A}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

\frac{3}{2}에 \frac{4+2A}{7}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

-1을(를) \frac{6+3A}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

단순화합니다.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-12y=-8에서 8x+2y=4A을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-2y=-8-4A$$

-12y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-14y=-8-4A$$

-8을(를) -4A에 추가합니다.

$$-14y=-4A-8$$

양쪽을 -14(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

4x+y=2A에서 y을(를) \frac{4+2A}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

수식의 양쪽에서 \frac{4+2A}{7}을(를) 뺍니다.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$