다음을 풀어보세요: 2x-3y=-1text{and}y=x-1

$$2 x - 3 y = - 1 \text { and } y = x - 1$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=-1$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y-1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

\frac{1}{2}에 3y-1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

다른 수식 -x+y=-1에서 \frac{3y-1}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=-1$$

-1에 \frac{3y-1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}+y=-1$$

-\frac{3y}{2}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$y=3$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

\frac{3}{2}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{9}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=3$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-1\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=3$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

2x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$-2x+3y=1,-2x+2y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x+3y=1에서 -2x+2y=-2을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x+3y-2y=1+2$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-2y=1+2$$

3y을(를) -2y에 추가합니다.

$$y=1+2$$

1을(를) 2에 추가합니다.

$$y=3$$

-x+y=-1에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+3=-1$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-x=-4$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=3$$