다음을 풀어보세요: 2x^2-34x=-22

$$2 x ^ { 2 } - 34 x = - 22$$

x에 대한 해

$$x = \frac{7 \sqrt{5} + 17}{2} \approx 16.326237921$$

$$x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}\approx 0.673762079$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-34x=-22$$

수식의 양쪽에 22을(를) 더합니다.

$$2x^{2}-34x-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

자신에서 -22을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-34x-\left(-22\right)=0$$

0에서 -22을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-34x+22=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -34을(를) b로, 22을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 22}}{2\times 2}$$

-34을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 22}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 22}}{2\times 2}$$

-8에 22을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-176}}{2\times 2}$$

1156을(를) -176에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{980}}{2\times 2}$$

980의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±14\sqrt{5}}{2\times 2}$$

-34의 반대는 34입니다.

$$x=\frac{34±14\sqrt{5}}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4}을(를) 풉니다. 34을(를) 14\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{14\sqrt{5}+34}{4}$$

34+14\sqrt{5}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4}을(를) 풉니다. 34에서 14\sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{34-14\sqrt{5}}{4}$$

34-14\sqrt{5}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2} x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}-34x=-22$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{22}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{22}{2}$$

-34을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-17x=-\frac{22}{2}$$

-22을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-17x=-11$$

x 항의 계수인 -17을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{17}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{17}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-11+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{17}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-11+\frac{289}{4}$$

-11을(를) \frac{289}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{245}{4}$$

인수 x^{2}-17x+\frac{289}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{245}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{245}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{7\sqrt{5}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{7\sqrt{5}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{17}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2} x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$