다음을 풀어보세요: 2x^2-28x+171=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 171 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7\approx 7+6.041522987i$$

$$x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7\approx 7-6.041522987i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-28x+171=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -28을(를) b로, 171을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 171}}{2\times 2}$$

-28을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 171}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 171}}{2\times 2}$$

-8에 171을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-1368}}{2\times 2}$$

784을(를) -1368에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{-584}}{2\times 2}$$

-584의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±2\sqrt{146}i}{2\times 2}$$

-28의 반대는 28입니다.

$$x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{4}을(를) 풉니다. 28을(를) 2i\sqrt{146}에 추가합니다.

$$x=\frac{28+2\sqrt{146}i}{4}$$

28+2i\sqrt{146}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{28±2\sqrt{146}i}{4}을(를) 풉니다. 28에서 2i\sqrt{146}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{146}i+28}{4}$$

28-2i\sqrt{146}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7 x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}-28x+171=0$$

수식의 양쪽에서 171을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-28x+171-171=-171$$

자신에서 171을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-28x=-171$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{171}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{171}{2}$$

-28을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-14x=-\frac{171}{2}$$

x 항의 계수인 -14을(를) 2(으)로 나눠서 -7을(를) 구합니다. 그런 다음 -7의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-\frac{171}{2}+\left(-7\right)^{2}$$

-7을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-14x+49=-\frac{171}{2}+49$$

-\frac{171}{2}을(를) 49에 추가합니다.

$$x^{2}-14x+49=-\frac{73}{2}$$

x^{2}-14x+49을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-7\right)^{2}=-\frac{73}{2}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{73}{2}}$$

단순화합니다.

$$x-7=\frac{\sqrt{146}i}{2} x-7=-\frac{\sqrt{146}i}{2}$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{146}i}{2}+7 x=-\frac{\sqrt{146}i}{2}+7$$