다음을 풀어보세요: 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

x에 대한 해

$$x=-4$$

$$x=5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 28을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

-12에서 28을(를) 빼고 -40을(를) 구합니다.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x-20=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-20(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -20을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

이 해답은 합계 -1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-5 b=4$$

x^{2}-x-20을(를) \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-5=0을 해결 하 고, x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

수식의 양쪽에서 28을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

자신에서 28을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

-12에서 28을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -2을(를) b로, -40을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -40을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

4을(를) 320에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

324의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±18}{4}을(를) 풉니다. 2을(를) 18에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{4}$$

20을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±18}{4}을(를) 풉니다. 2에서 18을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=5 x=-4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

자신에서 -12을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

28에서 -12을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-2x=40$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

-2을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

40을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=20$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

20을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=5 x=-4$$