다음을 풀어보세요: 2x^2-10x=3

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 3$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{31} + 5}{2} \approx 5.283882181$$

$$x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}\approx -0.283882181$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-10x=3$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-10x-3=3-3$$

자신에서 3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-10x-3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -10을(를) b로, -3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+24}}{2\times 2}$$

100을(를) 24에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{124}}{2\times 2}$$

124의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{31}}{2\times 2}$$

-10의 반대는 10입니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{31}}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}을(를) 풉니다. 10을(를) 2\sqrt{31}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+10}{4}$$

10+2\sqrt{31}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}을(를) 풉니다. 10에서 2\sqrt{31}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{10-2\sqrt{31}}{4}$$

10-2\sqrt{31}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}-10x=3$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=\frac{3}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=\frac{3}{2}$$

-10을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-5x=\frac{3}{2}$$

x 항의 계수인 -5을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{3}{2}+\frac{25}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) \frac{25}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{31}{4}$$

인수 x^{2}-5x+\frac{25}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$