다음을 풀어보세요: 2x^2+8x+9=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 9 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2+0.707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2-0.707106781i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 8을(를) b로, 9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 9}}{2\times 2}$$

-8에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\times 2}$$

64을(를) -72에 추가합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

-8의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}을(를) 풉니다. -8을(를) 2i\sqrt{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{4}$$

-8+2i\sqrt{2}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}을(를) 풉니다. -8에서 2i\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{4}$$

-8-2i\sqrt{2}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+8x+9-9=-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+8x=-9$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{9}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{9}{2}$$

8을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{2}$$

x 항의 계수인 4을(를) 2(으)로 나눠서 2을(를) 구합니다. 그런 다음 2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{9}{2}+2^{2}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{9}{2}+4$$

-\frac{9}{2}을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{2}$$

인수 x^{2}+4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

단순화합니다.

$$x+2=\frac{\sqrt{2}i}{2} x+2=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$