다음을 풀어보세요: 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 2x^{2}+ax+bx-4(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -8을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,8 -2,4$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

이 해답은 합계 7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-1 b=8$$

2x^{2}+7x-4을(를) \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-1=0을 해결 하 고, x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 7을(를) b로, -4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

49을(를) 32에 추가합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

81의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-7±9}{4}을(를) 풉니다. -7을(를) 9에 추가합니다.

$$x=\frac{2}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{2}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-7±9}{4}을(를) 풉니다. -7에서 9을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

자신에서 -4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

0에서 -4을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+7x=4$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

4을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

x 항의 계수인 \frac{7}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{7}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{7}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{7}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

2을(를) \frac{49}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

인수 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{4}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$