다음을 풀어보세요: 2x^2+6x+8=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x + 8 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}\approx -1.5+1.322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}\approx -1.5-1.322875656i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+6x+8=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 6을(를) b로, 8을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 8}}{2\times 2}$$

-8에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-64}}{2\times 2}$$

36을(를) -64에 추가합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-28}}{2\times 2}$$

-28의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{4}을(를) 풉니다. -6을(를) 2i\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{7}i}{4}$$

-6+2i\sqrt{7}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{4}을(를) 풉니다. -6에서 2i\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i-6}{4}$$

-6-2i\sqrt{7}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+6x+8=0$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+6x+8-8=-8$$

자신에서 8을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+6x=-8$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=-\frac{8}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=-\frac{8}{2}$$

6을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=-\frac{8}{2}$$

-8을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=-4$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-4+\frac{9}{4}$$

-4을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

인수 x^{2}+3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$