다음을 풀어보세요: 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 2x^{2}+ax+bx-90(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -180을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

이 해답은 합계 3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-12 b=15$$

2x^{2}+3x-90을(를) \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

첫 번째 그룹 및 15에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-6을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-6=0을 해결 하 고, 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 3을(를) b로, -90을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -90을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

9을(를) 720에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

729의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±27}{4}을(를) 풉니다. -3을(를) 27에 추가합니다.

$$x=\frac{24}{4}$$

24을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±27}{4}을(를) 풉니다. -3에서 27을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{30}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{15}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

수식의 양쪽에 90을(를) 더합니다.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

자신에서 -90을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

0에서 -90을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+3x=90$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

x 항의 계수인 \frac{3}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

45을(를) \frac{9}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

인수 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{4}을(를) 뺍니다.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$