다음을 풀어보세요: 2x^2+28x+41=-7

$$2 x ^ { 2 } + 28 x + 41 = - 7$$

x에 대한 해

$$x=-12$$

$$x=-2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2x^{2}+28x+41+7=0$$

41과(와) 7을(를) 더하여 48을(를) 구합니다.

$$2x^{2}+28x+48=0$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+14x+24=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx+24(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=14 ab=1\times 24=24$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 24을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

이 해답은 합계 14이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=2 b=12$$

x^{2}+14x+24을(를) \left(x^{2}+2x\right)+\left(12x+24\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(12x+24\right)$$

첫 번째 그룹 및 12에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x+2\right)+12\left(x+2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x+2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x+2\right)\left(x+12\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x+2=0을 해결 하 고, x+12=0.

$$x=-2 x=-12$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+28x+41=-7$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2x^{2}+28x+41-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

자신에서 -7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+28x+41-\left(-7\right)=0$$

41에서 -7을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+28x+48=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 28을(를) b로, 48을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

28을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-8\times 48}}{2\times 2}$$

-8에 48을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-384}}{2\times 2}$$

784을(를) -384에 추가합니다.

$$x=\frac{-28±\sqrt{400}}{2\times 2}$$

400의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-28±20}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-28±20}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-28±20}{4}을(를) 풉니다. -28을(를) 20에 추가합니다.

$$x=-\frac{8}{4}$$

-8을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-28±20}{4}을(를) 풉니다. -28에서 20을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{48}{4}$$

-48을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-12$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2 x=-12$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+28x+41=-7$$

수식의 양쪽에서 41을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+28x+41-41=-7-41$$

자신에서 41을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+28x=-7-41$$

-7에서 41을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+28x=-48$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+28x}{2}=-\frac{48}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{28}{2}x=-\frac{48}{2}$$

28을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+14x=-\frac{48}{2}$$

-48을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+14x=-24$$

x 항의 계수인 14을(를) 2(으)로 나눠서 7을(를) 구합니다. 그런 다음 7의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-24+7^{2}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+14x+49=-24+49$$

-24을(를) 49에 추가합니다.

$$x^{2}+14x+49=25$$

인수 x^{2}+14x+49. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+7\right)^{2}=25$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

단순화합니다.

$$x+7=5 x+7=-5$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$x=-2 x=-12$$