다음을 풀어보세요: 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 2을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

4을(를) -8에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

-4의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±2i}{4}을(를) 풉니다. -2을(를) 2i에 추가합니다.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

-2+2i을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±2i}{4}을(를) 풉니다. -2에서 2i을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

-2-2i을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+2x=-1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

2을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

인수 x^{2}+x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$