다음을 풀어보세요: 2n^2-5n-4=6

$$2 n ^ { 2 } - 5 n - 4 = 6$$

n에 대한 해

$$n = \frac{\sqrt{105} + 5}{4} \approx 3.811737691$$

$$n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}\approx -1.311737691$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2n^{2}-5n-4=6$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$2n^{2}-5n-4-6=6-6$$

자신에서 6을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2n^{2}-5n-4-6=0$$

-4에서 6을(를) 뺍니다.

$$2n^{2}-5n-10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -5을(를) b로, -10을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -10을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+80}}{2\times 2}$$

25을(를) 80에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$n=\frac{5±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{5±\sqrt{105}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{5±\sqrt{105}}{4}을(를) 풉니다. 5을(를) \sqrt{105}에 추가합니다.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{5±\sqrt{105}}{4}을(를) 풉니다. 5에서 \sqrt{105}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4} n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2n^{2}-5n-4=6$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$2n^{2}-5n-4-\left(-4\right)=6-\left(-4\right)$$

자신에서 -4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2n^{2}-5n=6-\left(-4\right)$$

6에서 -4을(를) 뺍니다.

$$2n^{2}-5n=10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2n^{2}-5n}{2}=\frac{10}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=\frac{10}{2}$$

10을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=5$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{4}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=5+\frac{25}{16}$$

5을(를) \frac{25}{16}에 추가합니다.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=\frac{105}{16}$$

인수 n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} n-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{4}을(를) 더합니다.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4} n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$