다음을 풀어보세요: 2(3x+4)^2+4(x-3)=6

$$2 ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } + 4 ( x - 3 ) = 6$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{106}-13}{9}\approx -0.30048554$$

$$x=\frac{-\sqrt{106}-13}{9}\approx -2.588403349$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(3x+4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$2\left(9x^{2}+24x+16\right)+4\left(x-3\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 2에 9x^{2}+24x+16(을)를 곱합니다.

$$18x^{2}+48x+32+4\left(x-3\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 4에 x-3(을)를 곱합니다.

$$18x^{2}+48x+32+4x-12=6$$

48x과(와) 4x을(를) 결합하여 52x(을)를 구합니다.

$$18x^{2}+52x+32-12=6$$

32에서 12을(를) 빼고 20을(를) 구합니다.

$$18x^{2}+52x+20=6$$

양쪽 모두에서 6을(를) 뺍니다.

$$18x^{2}+52x+20-6=0$$

20에서 6을(를) 빼고 14을(를) 구합니다.

$$18x^{2}+52x+14=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 18을(를) a로, 52을(를) b로, 14을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-52±\sqrt{52^{2}-4\times 18\times 14}}{2\times 18}$$

52을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2704-4\times 18\times 14}}{2\times 18}$$

-4에 18을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2704-72\times 14}}{2\times 18}$$

-72에 14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2704-1008}}{2\times 18}$$

2704을(를) -1008에 추가합니다.

$$x=\frac{-52±\sqrt{1696}}{2\times 18}$$

1696의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-52±4\sqrt{106}}{2\times 18}$$

2에 18을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-52±4\sqrt{106}}{36}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-52±4\sqrt{106}}{36}을(를) 풉니다. -52을(를) 4\sqrt{106}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{106}-52}{36}$$

-52+4\sqrt{106}을(를) 36(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{106}-13}{9}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-52±4\sqrt{106}}{36}을(를) 풉니다. -52에서 4\sqrt{106}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{106}-52}{36}$$

-52-4\sqrt{106}을(를) 36(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{106}-13}{9}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{106}-13}{9} x=\frac{-\sqrt{106}-13}{9}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(3x+4\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$2\left(9x^{2}+24x+16\right)+4\left(x-3\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 2에 9x^{2}+24x+16(을)를 곱합니다.

$$18x^{2}+48x+32+4\left(x-3\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 4에 x-3(을)를 곱합니다.

$$18x^{2}+48x+32+4x-12=6$$

48x과(와) 4x을(를) 결합하여 52x(을)를 구합니다.

$$18x^{2}+52x+32-12=6$$

32에서 12을(를) 빼고 20을(를) 구합니다.

$$18x^{2}+52x+20=6$$

양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다.

$$18x^{2}+52x=6-20$$

6에서 20을(를) 빼고 -14을(를) 구합니다.

$$18x^{2}+52x=-14$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$\frac{18x^{2}+52x}{18}=-\frac{14}{18}$$

18(으)로 나누면 18(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{52}{18}x=-\frac{14}{18}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{52}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x=-\frac{14}{18}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-14}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x=-\frac{7}{9}$$

x 항의 계수인 \frac{26}{9}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{13}{9}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{13}{9}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\left(\frac{13}{9}\right)^{2}=-\frac{7}{9}+\left(\frac{13}{9}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{13}{9}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}=-\frac{7}{9}+\frac{169}{81}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{9}을(를) \frac{169}{81}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}=\frac{106}{81}$$

인수 x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{13}{9}\right)^{2}=\frac{106}{81}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{106}{81}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{13}{9}=\frac{\sqrt{106}}{9} x+\frac{13}{9}=-\frac{\sqrt{106}}{9}$$

수식의 양쪽에서 \frac{13}{9}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{106}-13}{9} x=\frac{-\sqrt{106}-13}{9}$$