다음을 풀어보세요: 2z^2+3z+2=0

$$2 { z }^{ 2 } +3z+2=0$$

z에 대한 해

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}\approx -0.75+0.661437828i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}\approx -0.75-0.661437828i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 3을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 2}}{2\times 2}$$

-8에 2을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-16}}{2\times 2}$$

9을(를) -16에 추가합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

-7의 제곱근을 구합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}을(를) 풉니다. -3을(를) i\sqrt{7}에 추가합니다.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}을(를) 풉니다. -3에서 i\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$2z^{2}+3z+2-2=-2$$

자신에서 2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2z^{2}+3z=-2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2z^{2}+3z}{2}=-\frac{2}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-\frac{2}{2}$$

-2을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-1$$

x 항의 계수인 \frac{3}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{4}을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

-1을(를) \frac{9}{16}에 추가합니다.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

인수 z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

단순화합니다.

$$z+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} z+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{4}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$