다음을 풀어보세요: 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9.764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2.764982043$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -14을(를) b로, -54을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-14을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -54을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

196을(를) 432에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

628의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

-14의 반대는 14입니다.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}을(를) 풉니다. 14을(를) 2\sqrt{157}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

14+2\sqrt{157}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}을(를) 풉니다. 14에서 2\sqrt{157}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

14-2\sqrt{157}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

수식의 양쪽에 54을(를) 더합니다.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

자신에서 -54을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

0에서 -54을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-14x=54$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

-14을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

54을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-7x=27$$

x 항의 계수인 -7을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

27을(를) \frac{49}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

인수 x^{2}-7x+\frac{49}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$