다음을 풀어보세요: 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 2x^{2}+ax+bx-40(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -80을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

이 해답은 합계 -11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-16 b=5$$

2x^{2}-11x-40을(를) \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-8을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-8=0을 해결 하 고, 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -11을(를) b로, -40을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -40을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

121을(를) 320에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11의 반대는 11입니다.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{11±21}{4}을(를) 풉니다. 11을(를) 21에 추가합니다.

$$x=\frac{32}{4}$$

32을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=8$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{11±21}{4}을(를) 풉니다. 11에서 21을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

수식의 양쪽에 40을(를) 더합니다.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

자신에서 -40을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

0에서 -40을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-11x=40$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

x 항의 계수인 -\frac{11}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

20을(를) \frac{121}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{4}을(를) 더합니다.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$