다음을 풀어보세요: 180=3x+x^2

$$180 = 3 x + x ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x=-15$$

$$x=12$$

인수 분해 사용 단계

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+x^{2}=180$$

양쪽 모두에서 180을(를) 뺍니다.

$$3x+x^{2}-180=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$x^{2}+3x-180=0$$

방정식을 계산 하려면 수식 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)을 사용 하 x^{2}+3x-180. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=3 ab=-180$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -180을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

이 해답은 합계 3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-12 b=15$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(x+a\right)\left(x+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-12=0을 해결 하 고, x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+x^{2}=180$$

양쪽 모두에서 180을(를) 뺍니다.

$$3x+x^{2}-180=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$x^{2}+3x-180=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-180(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -180을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

이 해답은 합계 3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-12 b=15$$

x^{2}+3x-180을(를) \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

첫 번째 그룹 및 15에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-12을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-12=0을 해결 하 고, x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

근의 공식을 사용한 단계

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+x^{2}=180$$

양쪽 모두에서 180을(를) 뺍니다.

$$3x+x^{2}-180=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}+3x-180=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 3을(를) b로, -180을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4에 -180을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

9을(를) 720에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

729의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±27}{2}을(를) 풉니다. -3을(를) 27에 추가합니다.

$$x=\frac{24}{2}$$

24을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±27}{2}을(를) 풉니다. -3에서 27을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=-15$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=12 x=-15$$

제곱 완성 단계

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+x^{2}=180$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}+3x=180$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

180을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

인수 x^{2}+3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=12 x=-15$$