다음을 풀어보세요: 18x^2+33x=180

$$18 x ^ { 2 } + 33 x = 180$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2.375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4.209124378$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$18x^{2}+33x=180$$

수식의 양쪽에서 180을(를) 뺍니다.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

자신에서 180을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 18을(를) a로, 33을(를) b로, -180을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

33을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

-4에 18을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

-72에 -180을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

1089을(를) 12960에 추가합니다.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

14049의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

2에 18을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}을(를) 풉니다. -33을(를) 3\sqrt{1561}에 추가합니다.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

-33+3\sqrt{1561}을(를) 36(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}을(를) 풉니다. -33에서 3\sqrt{1561}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

-33-3\sqrt{1561}을(를) 36(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$18x^{2}+33x=180$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

18(으)로 나누면 18(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{33}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

180을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

x 항의 계수인 \frac{11}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{11}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{11}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{11}{12}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

10을(를) \frac{121}{144}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

인수 x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

수식의 양쪽에서 \frac{11}{12}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$