다음을 풀어보세요: 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 18x^{2}+ax+bx-5(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -90을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

이 해답은 합계 -9이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-15 b=6$$

18x^{2}-9x-5을(를) \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

인수분해 18x^{2}-15x에서 3x를 뽑아냅니다.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 6x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

수식 해답을 찾으려면 6x-5=0을 해결 하 고, 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 18을(를) a로, -9을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-9을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-4에 18을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-72에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

81을(를) 360에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9의 반대는 9입니다.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

2에 18을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{9±21}{36}을(를) 풉니다. 9을(를) 21에 추가합니다.

$$x=\frac{30}{36}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{30}{36}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{9±21}{36}을(를) 풉니다. 9에서 21을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{12}{36}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{36}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

자신에서 -5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

0에서 -5을(를) 뺍니다.

$$18x^{2}-9x=5$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18(으)로 나누면 18(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

9을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-9}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{18}을(를) \frac{1}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$